SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ - LỚP 9 NĂM HỌC: 2012 - 2013
Ngày thi: 05/04/2013

MÔN THI: TOÁN


Bài 1: (5 điểm)
a. Tìm các số thực a, b sao cho đa thức 4x4 - 11x3 - 2ax2 + 5bx - 6 chia hết cho đa thức x2 - 2x - 3
b. Cho biểu thức P = (a2013 - 8a2012 + 11a2011) + (b2013 - 8b2012 + 11b2011). Tính giá trị của P với a = 4 + √5 và b = 4 - √5
Bài 2: (5 điểm)
a. Giải hệ phương trình: 

2. Tìm các số nguyên x và y thỏa mãn: 6x2 + 10y2 + 2xy - x - 28y + 18 = 0
Bài 3: (2 điểm)
Cho ba số thực a, b, c dương thỏa mãn 
. Chứng minh:

Bài 4: (7 điểm)
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, nội tiếp đường tròn (O) và AB < AC. Các đường cao AD, BE, CF của tam giác ABC gặp nhau tại H. Gọi I là giao điểm hai đường thẳng EF và CB. Đường thẳng AI cắt (O) tại M (M khác A).
a. Chứng minh năm điểm A, M, F, H, E cùng nằm trên một đường tròn.
b. Gọi N là trung điểm của BC. Chứng minh ba điểm M, H, N thẳng hàng.
c. Chứng minh BM.AC + AM.BC = AB.MC
Bài 5: (1 điểm)
Cho 2013 điểm A1, A2,..., A2013 và đường tròn (O; 1) tùy ý cùng nằm trong mặt phẳng. Chứng minh trên đường tròn (O; 1) đó, ta luôn có thể tìm được một điểm Mm sao cho MA1 + MA2 + ... + MA2013 ≥ 2013