SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH
TỈNH YÊN BÁI LỚP 9 THCS NĂM 2012

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN
(Đề thi có 01 trang, gồm có 06 câu) Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi: 03/3/2012


Câu 1. (4,0 điểm)
Tìm hai số x, y nguyên thỏa mãn: x − xy = 7x − 2y − 15
Câu 2. (3,0 điểm)
Giải hệ phương trình:

Câu 3. (5,0 điểm)
Cho hình thang ABCD (AB//CD). Trên đáy lớn AB lấy điểm M không trùng với các đỉnh. Qua M kẻ các đường thẳng song song với AC và BD, các đường thẳng này cắt hai cạnh BC và AD lần lượt tại E và F. Đoạn EF cắt AC và BD lần lượt tại I và J. Gọi H là trung điểm của IJ.
Chứng minh rằng: FH = HE
Cho AB = 2CD. Chứng minh rằng: EJ = JI = IF
Câu 4. (3,0 điểm)
Cho đường tròn tâm O và một dây cung AB (O ( AB). Các tiếp tuyến tại A và B của đường tròn cắt nhau tại C. Kẻ dây cung CD của đường tròn đường kính OC (D khác A và B). Dây cung CD cắt cung AB của đường tròn (O) tại E (E nằm giữa C và D).
Chứng minh:  = 
Chứng minh: DE = DA.DB
Câu 5. (2,0 điểm)
Cho S =  +  +…+  +…+ , (k(N, 1≤ k ≤ 2012).
So sánh S và  .
Câu 6. (3,0 điểm)
Cho x, y, z là ba số dương thỏa mãn xyz = 1.













HƯỚNG DẪN GIẢI VÀ ĐÁP ÁN

Câu 1.

* Cách 1:
Ta có: x − xy = 7x − 2y − 15 ( xy − 2y = x − 7x + 15
( y(x − 2) = x − 7x + 15 ( y =  =  =  + 
Vì x, y ( Z (  ( Z ( x − 2 ( Ư(5)
- Nếu x − 2 = 1 ( x = 3 ( y = 3−5 +  = 3
- Nếu x − 2 = -1 ( x = 1 ( y = 1−5+  = -9
- Nếu x − 2 = 5 ( x = 7 ( y = 7−5+  = 3
- Nếu x − 2 = -5 ( x = -3 ( y = -3−5+  = -9
Vậy các cặp số nguyên x, y thỏa mãn phương trình là
(x ; y) = (3 ; 3) , (-1 ; -9) , (7 ; 3) , (-3 ; -9)

* Cách 2:
Ta thấy phương trình đã cho tương đương:
x − xy − 7x + 2y + 15 = 0
(2y − xy) − (2x − x) + (10 − 5x) = -5
y(2 − x) − x(2 − x) + 5(2 − x) = -5
(2 − x)(y − x + 5) = -5
(x − 2)(y − x + 5) = 5
Vì x, y là các số nguyên nên x − 2 và y − x + 5 cũng là các số nguyên
( x − 2 và y − x + 5 là các ước của 5.
Xét từng trường hợp ta được (x ; y) = (3 ; 3) , (-1 ; -9) , (7 ; 3) , (-3 ; -9)

Câu 2.

Ta có: (x + y)1+  = 6 ( x +  + y +  = 6 (  +  = 6
Đặt  = a ,  = b (a, b ≥ 2)
Hệ phương trình đã cho tương đương: 
Từ đó suy ra ab = 9. Áp dụng hệ thức Viet ta có a, b là các nghiệm của phương trình:
X − 6X + 9 = 0. Phương trình này có nghiệm X = X = 3
Do đó a = b = 3 (t/m a, b > 2)
Từ đó rút ra  =  = 3
Quy về phương trình bậc hai rồi sử dụng công thức nghiệm ta thu được:
(x ; y) =  ;  ,  ;  ,  ;  ,  ;